MATEMATICAS II. BLOQUE 4-5: marzo 2014

lunes, 10 de marzo de 2014

POLIGONOS

POLÍGONO

Un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersectan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área.

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO

Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.

Diagonal (d): es el segmento que une dos vértices no consecutivos

Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.

Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.

Ángulo interior (AI): es el ángulo formado internamente por dos lados consecutivos.

Ángulo exterior (AE): es el ángulo formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

En un polígono regular se puede distinguir, además:

Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
Ángulo central (AC): es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
Diagonales totales $N_d =\frac{n(n-3)}{2}$ , en un polígono de $n$ lados.

Intersecciones de diagonales $N_I =\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ , en un polígono de $n$ vértices.

CLASIFICACIÓN DE POLIGONOS

Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina

Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta.
Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.
Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos, es el que tiene todos sus ángulos menores que 180º.
Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos; es el que tiene uno o varios ángulos mayores que 180º.
Equilátero, si tiene todos sus lados iguales.
Equiángulo, si tiene todos sus ángulos iguales.
Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales.
Ortogonal o isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos $x$ o $y$ .⁶
Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.

Clasificación de polígonos según el número de lados
Nombre	n.º lados
trígono, triángulo	3
tetrágono, cuadrángulo, cuadrilátero	4
pentágono	5
hexágono	6
heptágono	7
octógono u octágono	8
eneágono o nonágono	9
decágono	10
endecágono o undecágono	11
dodecágono	12
tridecágono	13
tetradecágono	14
pentadecágono	15
hexadecágono	16

heptadecágono	17
octodecágono	18
eneadecágono	19
isodecágono, icoságono	20
triacontágono	30
tetracontágono	40
pentacontágono	50
hexacontágono	60
heptacontágono	70
octocontágono	80
eneacontágono	90
hectágono	100
chiliágono	1000
miriágono	10 000
decemiriágono	100 000
hectamiriágono, megágono	1 000 000
apeirógono	∞

MODELOS MATEMÁTICOS PARA DETERMINAR ÁNGULOS Y DIAGONALES EN POLÍGONOS CONVEXOS

PRIMER MODELO.- La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de "n" lados es igual a tantas veces un ángulo llano como lados menos dos tiene el polígono.

SEGUNDO MODELO.- La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es igual a 4 ángulos rectos:

CUARTO MODELO.- El valor de un solo ángulo exterior de un polígono regular convexo de "n" lados es:

QUINTO MODELO.- La suma de los ángulos centrales de un polígono convexo regular es igual a 4 ángulos rectos.

SXTO MODELO.- El valor de un solo ángulo central de un polígono convexo regular de "n" lados es: 360º/n

SEPTIMO MODELO.- El número total de diagonales de un polígono es: De cada vértice de un polígono se pueden trazar (n - 3) diagonales; de los "n" vértices se podrán trazar n(n - 3) diagonales, pero todo sobre dos, pues cada diagonal corresponde a dos vértices diferentes.

12 ND= n(n-3) 2’>

OCTAVO MODELO.- La suma de los ángulos interiores de un polígono cóncavo es igual a tantas veces un ángulo llano como lados menos dos tiene el polígono.

S_i= 180º(n-2)

NOVENO MODELO.- La suma de los ángulos exteriores de un polígono cóncavo es igual a 4 ángulos rectos.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA ÁNGULOS Y DIAGONALES EN POLÍGONOS CONVEXOS.

¿En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número de diagonales? Rpta.- Pentágono
¿En qué polígono se cumple que el número de lados, más el número de ángulos internos, más el número de diagonales trazadas desde un vértice, es 15? Rpta.- hexágono
¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en el que la suma de los ángulos internos es 8 veces la suma de los ángulos externos? Rpta.- 18
Cinco ángulos de un hexágono miden 120º, 130º, 140º, 150º y 160º. Halla la medida del sexto ángulo. Rpta.- 20º
¿Cuántas diagonales tiene el polígono convexo cuya suma de sus ángulos interiores es 3600º? Rpta.- 209
Determina cuántos lados tiene un polígono convexo cuyo número de diagonales excede en 8 al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos. Rpta.- 10
Si el número de vértices de un polígono regular aumenta en tres, el número de diagonales aumenta en 18. Calcula la medida del ángulo interior del polígono original. Rpta.- 120º

MODELOS MATEMÁTICOS PARA CALCULAR ÁREAS EN POLÍGONOS REGULARES.

Los poligonos regulares son aquellos que tienen sus angulos y sus lados iguales entre si.

Los poligonos regulares son: triangulo equilatero, cuadrado, pentagono, hexagono, heptagono, octagonos regulares, etc.

Los poligonos son regulares cuando es equilatero y equiangulo, si no cumplen estas dos condiciones no es un poligono regular.

MODELOS MATEMÁTICOS

A=p*a/2

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA CALCULAR ÁREAS

a)¿Cuánto vale el área de la parte sombreada de la figura, si el área del hexágono es de 96 cm²?

b) Calcular el área y el perímetro de un cuadrado de 5 cm de lado.

A = 5² = 25 cm²

^c)Calcular el área y el perímetro de un pentágono regular de 6 cm de lado.

P = 5 · 6 = 30 cm

LUGARES GEOMÉTRICOS EN LA CIRCUNFERENCA

CIRCUNFERENCIA

Circunferencia es un ligar geometrico de todos lo putos que conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia.

LUGARES GEOMÉTRICOS QUE SE RELACIONAN CON LA CIRCUNFERENCIA

Circulo es la regios delimitada por una circunferencia siendo esta el lugar geometrico de los puntos del centro.

Radio Es el segmento rectilineo que une al centro con cualquier punto de la circunferencia.

Diametro: Es el segmento rectilineo que pasa por el centro del circulo uniendo dos puntos de la circunferencia.

Arco: Es una parte delimitada de la circunferencia.

Cuerda: Segmento rectilineo que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.

Secante: Es toda recta que corta la circunferencia en dos puntos.

Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto. El punto de contacto se llama punto de tangencia.

Sector circular: Es la parte del circulo comprendida entre doa radios.

Cuadrante: Es el sector circulr que equivale a la cuarta parte del circulo.

Segmento circular: es la porcion del circulo comprendida entr un arco y la cuerda que une sus extremos.

TEOREMAS DE ÁNGULOS DENTRO, SOBRE Y FUERA DE LA CIRCUNFERENCIA.

TEOREMA 1.- Todo angulo inscrito en un arco de circunferencia vale la mitad del angulo central que le corresponde.

TEOREMA 2.- Todo angulo formado por dos secantes que se cortan fuera de la circunferencia (angulo exterior) tiene por medida la mitad de la diferencia de los arcos comprendidos entres sus lados.

TEOREMA 3.- El angulo interior esta formado por dos cuerdas que se cortan, tiene por medida las semisumas de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.

TEOREMA 4.- El angulo semi-inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido por la cuerda.

EJERCICIOS

a) La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

B) El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

c)En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

MODELOS MATEMATICOS PARA PERIMETRO Y AREA DE LA CIRCUNFERENCIA. MODELOS PARA DETERMINAR VOLUMENES.

PERIMETRO

Se establece que π es la razon entrela longitud de la circunferencia y la longitus del diametro, lo cual se expresa π= p/d entonces p= π*d y como el diametro es igual a dos radios (d= 2r) p=2π r.

La longitus de una circunferencia se obtiene multiplicando π por el diametro o lo que es lo mismo π por el doble del radio.

AREA

Existen numerosas fórmulas para calcular el área de un círculo. Un círculo de radio $r \,$ , tendrá un área:

$A = \pi \cdot r^2$ ; en función del radio (r).

$A = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$ ; en función del diámetro (d), pues $r = \frac{d}{2}$

$A = \frac{C^2}{4 \cdot \pi}$

VOLUMEN

El volumen es el espacio que ocupan los cuerpos.

Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son por lo tanto objetos que tienen tres dimensiones (ancho, alto y largo) limitados por una o más superficies. Si todas las superficies son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Si el cuerpo no está limitado por polígonos, sino por superficies curvadas recibe el nombre de cuerpos redondos.

La fórmula para calcular el volumen de un cuerpo depende de su forma.

Para determinar el volumen de los cuerpos geométricos se debe tener en cuenta lo siguiente:

1.- El volumen de un cubo es igual al cubo de uno de sus lados, esto se expresa como:

V = l³

2.- El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura, esto se expresa como:

V = Bh

3.- El volumen de un cilindro es igual al producto de p por el cuadrado del radio por la altura, esto se expresa como:

V = Π r² h

4.- El volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del producto del área de la base por la altura, lo cual se expresa como:

V = B h ÷ (dividido o partido por) 3

5.- El volumen del cono es igual a la tercera parte del producto de pi por el cuadrado del radio por la altura, lo cual se expresa como:

Π r² h ÷ (dividido o partido por) 3

EJERCICIOS PARA DETERMINAR VOLUMENES.

1. La altura de un prisma pentagonal es de 20 cm y sus bases miden 16 cm por lado y 11 cm de apotema, ¿cuál es su volumen?

Los datos con los que se cuenta son:

longitud de los lados = 16 cm

longitud del apotema (a) = 11 cm

altura del prisma = 20 cm

Primero se procede a determinar el área de la base (B):

El perímetro (P) se halla multiplicando la longitud de uno de los lados por cinco, ya que se trata de un pentágono.

Sustituyendo valores se tiene:

Una vez que se tiene el área de la base, se determina el volumen de este prisma con la fórmula V = Bh

Sustituyendo valores se tiene:

V = 440 cm² ( 20 cm ) = 8.800 cm³

Esto indica que el volumen de este prisma pentagonal es de 8.800 cm³.

2. Si la base de una pirámide rectangular tiene por dimensiones 10 dm de largo y 8 dm de ancho, y la altura de la pirámide es de 15 dm, ¿cuál es su volumen?

Los datos con que se cuenta son:

largo de la base = 10 dm

ancho de la base = 8 dm

altura de la pirámide = 15 dm

Se determina el área de la base (B):

B = largo x ancho

Sustituyendo valores:

B = 10 dm (8 dm) = 80 dm²

Se aplica la fórmula para calcular el volumen de una pirámide:

Sustituyendo valores:

V = 80 dm² (15 dm) = 1.200 dm³

El volumen de esta pirámide rectangular es de 1.200 dm³